Donnerstag, 30. Mai 2013

Töne, Klänge und Frequenzen

Hallo ! Ich hoffe, du hast ab und an immer mal wieder Zeit und Lust, mein Blog zu lesen. Heute wird es etwas theoretisch, aber ein wenig Physik und Mathematik können auch in der Musik nicht schaden.

Die Musik die wir täglich hören oder auch selbst machen, besteht in der Regel aus Tönen. Manche Musik, besonders moderne, elektronische Musik, besteht zum Teil auch aus Geräuschen, aber darauf möchte ich nicht näher eingehen.

Aber sind es wirklich nur Töne? Wo bleibt der Klang? Besteht Musik nicht auch aus Klängen?
Du siehst, hier beginnt schon die Schwierigkeit. Was ist eigentlich der Unterschied zwischen einem Ton und einem Klang? Gibt es da überhaupt einen Unterschied?

Physikalisch gesehen ist beides ein Schallereignis. Die Lehre vom Schall, die Akustik, ist ein Teilgebiet der Physik und unterscheidet insgesamt vier Schallereignisse:
  • Ton
  • Klang
  • Geräusch
  • Knall

Die theoretischen Grundlagen der Schallausbreitung ist für jedes dieser Schallereignisse gleich. An der Schallquelle entsteht ein Überdruck (Schalldruck), der sich wellenförmig und symmetrisch in alle Richtungen in einem umgebenden, schallleitenden Medium ausbreitet (kugelförmige Schallausbreitung).
Das umgebende Medium ist beim Musizieren in aller Regel die Luft. Grundsätzlich breitet sich der Schall aber auch in anderen Gasen oder Flüssigkeiten aus, dort jedoch mit einer anderen Geschwindigkeit. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die sog. Schallgeschwindigkeit, beträgt in dem Medium Luft 343 m/s, das entspricht 1235 km/h. Die Schallwelle selbst ist eine sog. Längswelle (Longitudinalwelle), d.h. sie schwingt in Ausbreitungsrichtung.
Durch den Schalldruck werden die Teilchen der Luft (Atome oder Moleküle) in wellenförmige Bewegungen versetzt und schwingen in Richtung der Ausbreitung um den Betrag der Amplitude.  Erlischt der Schalldruck, kommen die Teilchen wieder zur Ruhe und der Ton verklingt. Im Vakuum ist somit keine Schallübertragung möglich. Die bekannten Raumschlachten, bei denen im Kino die Sessel beben, würden somit in Wirklichkeit völlig geräuschlos ablaufen.

Ton
Die oben genannten vier Schallereignisse unterscheiden sich durch ihre Wellenform. Physikalisch gesehen ist ein Ton eine Schwingung in Form einer Sinuskurve. Er ist definiert über die Dauer seiner Schwingungsperiode und den Betrag der Amplitude.

Sinuskurve


Die Frequenz eines Tones ist der Kehrwert der Periodendauer oder anders formuliert  die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeiteinheit

Beispiel: Der Kammerton a hat eine Frequenz von 440 Hz, d.h. 440 Sinusschwingungen pro Sekunde. Damit ergibt sich die Dauer einer Schwingung, die Periodendauer, mit:
Bei Veränderung der Frequenz verändert sich die Tonhöhe, die Höhe der Amplitude bestimmt den Schalldruck, also die Lautstärke.

In der Musik versteht man unter einem Ton ein Schallereignis, welches von der Stimme oder von einem Instrument erzeugt wird und eine eindeutige Tonhöhe hat. In der Harmonielehre sind Töne Teil eines komplexen Tonsystems. Die harmonischen Zusammenhänge zwischen den Tönen sind durch Intervalle und Akkorde mathematisch beschrieben und werden in der uns bekannten Notenschrift notiert.





Klang
Ein in der Musik natürlich erzeugter Ton ist jedoch niemals ein reiner Sinuston sondern er besteht neben einem Grundton noch aus einer ganzen Reihe von Obertönen. Die Frequenzen der Obertöne stehen in einem ganzzahligen Verhältnis zum Grundton, und klingen demnach „harmonisch“. Der Grundton bestimmt im Wesentlichen die Tonhöhe während die Anzahl und die Zusammensetzung der hörbaren Obertöne die Klangfarbe eines Instrumentes ausmachen.  Die Obertonreihe ist von der Art der Klangerzeugung und der Bauart des Instrumentes abhängig.
Physikalisch gesehen ist somit ein Klang die Überlagerung mehrerer Töne (Partialtöne). Deutlich wird dieses System von Grund- und Obertönen z.B. bei den Zugriegeln einer Orgel. Hier kann man sich den Klang der Orgel durch die Kombination von mehreren Sinustönen beliebig zusammensetzen.


Geräusch
Ein Geräusch (von Rauschen) ist ein Sammelbegriff für alle Hörempfindungen, die nicht als Ton oder Klang bezeichnet werden können. Geräusche sind im täglichen Leben die am häufigsten vorkommenden Schallereignisse. Die Schwingungsvorgänge verlaufen nicht periodisch und ändern sich häufig in ihrer Struktur und ihrer Amplitude. 


Knall
Unter einem Knall versteht man eine kurz andauernde, einmalige Schwingung mit großer Amplitude. Als Beispiel kann man sich darunter näherungsweises den Schlag auf  eine Snaredrum vorstellen.




Ein Ton bzw. ein Klang entsteht also, wenn Luft in periodische Schwingungen versetzt wird. Bei Blasinstrumenten wird in dem Instrument eine schwingende Luftsäule erzeugt bis sich eine „stehende Welle“, also eine gleichmäßige Schwingung, einstellt. Diese versetzt beim Austritt aus dem Schalltrichter die umgebende Luft ebenfalls in Schwingung. Diese Schwingungen pflanzen sich in der Luft mit Schallgeschwindigkeit fort bis sie das Ohr eines Zuhörers erreichen. Dort wird das Trommelfell im Ohr in eben diese Schwingung versetzt und dadurch wird vom Zuhörer der Klang wahrgenommen. Je höher die Frequenz, also die Anzahl der Schwingungen in einer bestimmten Zeiteinheit, desto höher ist der Ton. Die Tonhöhe bei Blasinstrumenten kann sowohl über die Länge der Luftsäule als auch über die Geschwindigkeit der eingeblasenen Luft gesteuert werden. Da zum Aufbau einer „stehenden Welle“ etwas Zeit erforderlich ist, erklingt der Ton immer erst kurz nach dem Anblasen. Darum ist es für Bläser wichtig, immer „vorausschauend“ zu spielen. Von Vorteil ist hierbei ein Instrument, welches den schnellen Aufbau der Luftsäule begünstigt, also ein Instrument mit einer sog. „guten Ansprache“.

Bei Saiteninstrumenten erfolgt die Tonbildung, indem eine Saite in Schwingung versetzt wird und dadurch die Luft in einem Resonanzkörper zum Schwingen gebracht wird. Unterschiedliche Tonhöhen werden hierbei durch die Länge, die Dicke und die Spannkraft der Saiten erzeugt.
Dieses Prinzip würde angeblich durch Pythagoras von Samos entdeckt. Er definierte die reinen Intervalle als ganzzahlige Längenproportionen einer über zwei Stege gespannt Saite.
Spannst du eine Saite auf die Gitarre, so schwingt sie zwischen den beiden Stegen mit einer Länge „L“.
Halbierst du die Länge der Saite, verdoppelt sich die Frequenz und der Ton klingt genau eine Oktave höher.  Also ergibt sich das Verhältnis zwischen Prime und Oktave mit L/2. Da diese Regel für jede beliebige Saitenlänge gilt ist es sinnvoll für eine allgemeine, physikalische Betrachtung von einer Länge L=1 der Ursprungssaite auszugehen. Somit ergibt sich als Längenverhältnis zwischen Prime und Oktave die Verhältniszahl  2/1.
Halbiere ich die Saite noch einmal, lasse also 3/4 der ursprünglichen Saitenlänge schwingen, erklingt die Quarte zum Grundton. Längenverhältnis Prime zu Quarte = 4/3.
Verkürze ich die Saite um 1/3, d.h. die Saite schwingt noch mit 2/3 ihrer Länge, erklingt die Quinte zum Grundton. Längenverhältnis Prime zu Quinte = 3/2.
Also zusammenfassend noch einmal:
  • keine Verkürzung der Saitenlänge     =  Prime                   
  • Verkürzung der Saite um  1/2           = Oktave                  
  • Verkürzung der Saite um  1/3           = Quinte                    
  • Verkürzung der Saite um  1/4           = Quarte                   

Nur bei den reinen Intervallen lassen sich die Längenverhältnisse als sog. Stammbruch (Bruchzahl mit einer 1 im Zähler) darstellen. Alle anderen Längenverhältnisse können nur als sog. Zweigbrüche dargestellt werden. Ich hab das auf meiner alten Gitarre nachgemessen, es stimmt tatsächlich.

Bisher haben wir nur eine Saite mit konstanter Spannkraft betrachtet, die zur Änderung der Tonhöhe verkürzt wurde. Das Niederdrücken der Gitarrensaiten ist dafür ein praktisches Beispiel. Allerdings gibt es noch zwei andere, wesentliche Parameter, mittels derer man die Tonhöhe verändern kann. Das sind zum einen die Spannkraft der Saite (F) und zum anderen der Saitenquerschnitt, ausgedrückt durch den Durchmesser (D). Die Abhängigkeiten dieser Parameter kann man nun folgendermaßen zusammenfassen:
  • Verkürzung der Saite erhöht die Frequenz (halbe Länge = doppelte Frequenz)
  • Erhöhung der Spannkraft, erhöht die Frequenz (vierfache Kraft = doppelte Frequenz)
  • Reduzierung der Saitendicke erhöht die Frequenz (halber Durchmesser = doppelte Frequenz)

Die Stimmung eines Saiteninstrumentes erfolgt immer durch die Kombination dieser 3 Parameter.
Die Formel für die Berechnung der Tonfrequenz lautet die Formel:

Die Werte in der Formel werden mit folgenden Einheiten eingesetzt (in den Formeln wurden die entsprechenden Faktoren zur Anpassung der Maßeinheiten bereits berücksichtigt):

Nach der Legende von Pythagoras wurde die Tonhöhe verdoppelt, also die Oktave zum ursprünglichen Ton dadurch erreicht, dass die Saite mit dem doppelten Gewicht gespannt wurde, Das ist definitiv falsch, wie aus der Formel ersichtlich. Zur Erreichung der doppelten Frequenz, also einer Oktave, ist das Vierfache an Spannkraft (=Gewicht) erforderlich.

Durch Umstellung der Formel kannst du auch leicht die Zugkraft berechnen, mit der eine Saite bei einer bestimmten Frequenz gespannt ist: 





Oder die erforderliche Saitenlänge:





Oder den erforderlichen Saitendurchmesser:



So, genug Theorie für heute. Beim nächsten Mal wird es dann wieder musikalischer. Bis dahin wünsche ich dir

viel Spaß beim Üben !



Samstag, 25. Mai 2013

Töne und Intervalle

Hallo lieber Blogleser,

nach längerer Pause möchte ich heute mal wieder etwas zu einem ganz allgemeinen Thema schreiben - zu Tönen und Intervallen.
Ein Intervall ist der Abstand zwischen zwei Tönen. Die Töne können hierbei gleichzeitig oder nacheinander erklingen. Erklingen die beiden Töne gleichzeitig, spricht man von einem harmonischen Intervall, erklingen die Töne nacheinander handelt es sich um ein melodisches Intervall.
Bei der Bestimmung von Intervallen musst du zwischen den akustisch wahrgenommenen und den notierten Intervallen unterscheiden, da ein Intervall in unterschiedlichen Schreibweisen dargestellt werden kann, je nachdem in welchem musikalischen Kontext es notiert ist. Dazu jedoch später mehr.
Die grundsätzliche Festlegung von Intervallen lässt sich am besten über die Stufen der Durtonleiter erklären.  Betrachtest du eine Tonleiter, in unserem Beispiel die C-Dur-Tonleiter, ergeben sich die Intervallbezeichnungen als Abstand der jeweiligen Tonleiterstufe zum Grundton:

1.Stufe  = Prime
2.Stufe  = Sekunde
3.Stufe  = Terz
4.Stufe  = Quarte
5.Stufe  = Quinte
6.Stufe  = Sexte
7.Stufe  = Septime (Septe)
8.Stufe  = Oktave

Das kleinste denkbare Intervall hat eigentlich keinen Tonabstand. Du kannst dir das so merken, indem du dir vorstellst, dass auf zwei unterschiedlichen Instrumenten der gleiche Ton gespielt wird. Dann erklingen zwar zwei unterschiedliche Töne, diese haben jedoch keinen Tonhöhenabstand zueinander. Ein solches, gedankliches Intervall nennt man Prime. Das Gleiche gilt natürlich, wenn du auf einem Instrument denselben Ton zweimal hintereinander spielst (melodisches Intervall).

Spielst du nun eine Tonleiter (als Beispiel C-Dur) von unten nach oben, ergeben sich die Intervalle mit folgenden Halbtonabständen:


Betrachtest du nun als nächstes die Intervalle, indem du die Tonleiter vom obersten Ton aus abwärts spielst, haben sie zwar grundsätzlich die gleichen Namen, aber es ergeben sich jedoch teilweise andere Tonabstände, da du in Abwärtsrichtung ja mit einem Halbtonschritt beginnst.


Somit können innerhalb einer Oktave insgesamt folgende diatonischen Intervalle vorkommen die eindeutig über die Anzahl ihrer Halbtonschritte definiert sind:

Tonleiter aufwärts             HT                            Tonleiter abwärts              HT

Prime                                0                              Prime                                0
große Sekunde                   2                               kleine Sekunde                   1
große Terz                         4                              kleine Terz                         3 
Quarte                               5                             Quarte                               5 
Quinte                               7                             Quinte                                7
große Sexte                        9                             kleine Sexte                        8
große Septime                   11                             kleine Septime                   10
Oktave                              12                            Oktave                               12

Jeweils zwei sog. Komplementärintervalle ergänzen sich zu einer Oktave:

       Primen + Oktaven        = Oktave
       Sekunden + Septimen   = Oktave
       Terzen + Sexten           = Oktave
       Quarten + Quinten        = Oktave
       usw.



Sicher hast du bemerkt, dass vier der Intervalle die gleiche Anzahl an Halbtonschritten haben, egal ob du die Skala aufwärts oder abwärts spielst. Diese Intervalle nennt man reine Intervalle.  Die Intervalle, die sowohl als kleine und große Intervalle vorkommen, nennt man unreine Intervalle. Die reinen Intervalle sind die, die sich nicht verändern, unabhängig davon ob es sich um eine Dur- oder eine Molltonleiter handelt.


Für Intervalle, die größer sind als eine Oktave gelten die gleichen Regeln, da diese Intervalle gedanklich immer aus einer Oktave und einem Restintervall zusammengesetzt werden können.

  9. Stufe                             = None                            Oktave + Sekunde
10. Stufe                             = Dezime                         Oktave + Terz
11. Stufe                             = Undezime                      Oktave + Quarte
12. Stufe                             = Duodezime                    Oktave + Quinte
13. Stufe                             = Tredezime                     Oktave + Sexte

Für das Intervall Oktave + Septime gibt es meines Wissens keinen gebräuchlichen Namen.

In der Notenschrift kann der Tonabstand eines Intervalls durch Vorzeichen (b oder #) alteriert werden:
  • kleine Intervalle werden durch Vergrößerung groß, durch nochmalige Vergrößerung übermäßig
  • große Intervalle werden durch Verkleinerung klein, durch nochmalige Verkleinerung vermindert und durch Vergrößerung übermäßig
  • reine Intervalle werden durch Verkleinerung vermindert und durch Vergrößerung übermäßig
Hieraus kann sich dann die weiter oben bereits angesprochene Diskrepanz zwischen einem „gehörten“ und einem notierten Intervall ergeben. In der Gehörbildung unterscheidet man nur zwischen reinen, kleinen und großen Intervallen. Verminderte und übermäßige Intervalle sind nur von musiktheoretischer Bedeutung.

von links nach rechts:
  • notiert ist eine Quinte.
  • durch das b vor der Note G ergibt sich eine verminderte Quinte (kleine Quinten gibt es ja nicht).
  • durch das # vor der Note C ergibt sich dann eine doppelt verminderte Quinte.
von rechts nach links:
  • notiert ist eine Terz
  • durch das # vor der Note F wird aus der kleinen Terz eine große Terz.
  • durch das b vor der Note D wird aus der großen Terz eine übermäßige Terz.
In beiden Fällen klingt eine reine Quarte, so wie in der Mitte notiert. Die unterschiedliche Notendarstellung ein und desselben Tons nennt man enharmonische Verwechslung.

Ein besonderes Intervall ist der Tritonus, also ein Intervall von sechs Halbtönen. Je nach musikalischem Kontext kann der Tritonus als übermäßige Quarte oder als verminderte Quinte notiert sein. Vom Klang her sind beide Intervalle identisch. Der Tritonus teilt eine Oktave genau in der Mitte, zwei Tritoni ergeben somit eine Oktave.

In Bezug auf die Harmonik werden Intervalle in konsonante und dissonante Zusammenklänge unterschieden. Als konsonant werden Intervalle bezeichnet, die ruhig, harmonisch und stabil klingen. Als dissonant gelten Intervalle, deren Töne eine starke Reibung und Schärfe untereinander besitzen und nach Auflösung zu einem konsonanten Klang drängen. Welche Intervalle konsonant bzw. dissonant klingen, hängt stark von deinen Hörgewohnheiten ab. Im Allgemeinen werden die reinen Intervalle als konsonant, die unreinen Intervalle als dissonant bezeichnet.

Reine Intervalle ergeben sich aus der Obertonreihe eines Klanges. Jeder natürliche Ton besteht aus einem Grundton und einer Reihe von Obertönen, die in Abhängigkeit ihrer Intensität den charakteristischen, individuellen Klang z.B. einer menschlichen Stimme oder eines Musikinstrumentes bestimmen. Ein Ton ohne Obertöne, also ein reiner Sinuston, kommt in der Natur nicht vor.
Die beiden ersten Obertöne in der Obertonreihe sind Oktave und Quinte. Darum haben diese beiden Intervalle im Bezug auf die Entstehung der Harmonielehre eine besondere Bedeutung.  
Im Allgemeinen geht man davon aus, dass ein Intervall umso konsonanter klingt, je kleiner die Zahlen sind, mit denen das Verhältnis der Frequenzen (Schwingungszahlen) der beiden Intervalltöne ausgedrückt werden kann. Darauf werde ich im nächsten Kapitel näher eingehen.

Bis dahin, viel Spaß beim Üben !