Donnerstag, 30. Mai 2013

Töne, Klänge und Frequenzen

Hallo ! Ich hoffe, du hast ab und an immer mal wieder Zeit und Lust, mein Blog zu lesen. Heute wird es etwas theoretisch, aber ein wenig Physik und Mathematik können auch in der Musik nicht schaden.

Die Musik die wir täglich hören oder auch selbst machen, besteht in der Regel aus Tönen. Manche Musik, besonders moderne, elektronische Musik, besteht zum Teil auch aus Geräuschen, aber darauf möchte ich nicht näher eingehen.

Aber sind es wirklich nur Töne? Wo bleibt der Klang? Besteht Musik nicht auch aus Klängen?
Du siehst, hier beginnt schon die Schwierigkeit. Was ist eigentlich der Unterschied zwischen einem Ton und einem Klang? Gibt es da überhaupt einen Unterschied?

Physikalisch gesehen ist beides ein Schallereignis. Die Lehre vom Schall, die Akustik, ist ein Teilgebiet der Physik und unterscheidet insgesamt vier Schallereignisse:
  • Ton
  • Klang
  • Geräusch
  • Knall

Die theoretischen Grundlagen der Schallausbreitung ist für jedes dieser Schallereignisse gleich. An der Schallquelle entsteht ein Überdruck (Schalldruck), der sich wellenförmig und symmetrisch in alle Richtungen in einem umgebenden, schallleitenden Medium ausbreitet (kugelförmige Schallausbreitung).
Das umgebende Medium ist beim Musizieren in aller Regel die Luft. Grundsätzlich breitet sich der Schall aber auch in anderen Gasen oder Flüssigkeiten aus, dort jedoch mit einer anderen Geschwindigkeit. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die sog. Schallgeschwindigkeit, beträgt in dem Medium Luft 343 m/s, das entspricht 1235 km/h. Die Schallwelle selbst ist eine sog. Längswelle (Longitudinalwelle), d.h. sie schwingt in Ausbreitungsrichtung.
Durch den Schalldruck werden die Teilchen der Luft (Atome oder Moleküle) in wellenförmige Bewegungen versetzt und schwingen in Richtung der Ausbreitung um den Betrag der Amplitude.  Erlischt der Schalldruck, kommen die Teilchen wieder zur Ruhe und der Ton verklingt. Im Vakuum ist somit keine Schallübertragung möglich. Die bekannten Raumschlachten, bei denen im Kino die Sessel beben, würden somit in Wirklichkeit völlig geräuschlos ablaufen.

Ton
Die oben genannten vier Schallereignisse unterscheiden sich durch ihre Wellenform. Physikalisch gesehen ist ein Ton eine Schwingung in Form einer Sinuskurve. Er ist definiert über die Dauer seiner Schwingungsperiode und den Betrag der Amplitude.

Sinuskurve


Die Frequenz eines Tones ist der Kehrwert der Periodendauer oder anders formuliert  die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeiteinheit

Beispiel: Der Kammerton a hat eine Frequenz von 440 Hz, d.h. 440 Sinusschwingungen pro Sekunde. Damit ergibt sich die Dauer einer Schwingung, die Periodendauer, mit:
Bei Veränderung der Frequenz verändert sich die Tonhöhe, die Höhe der Amplitude bestimmt den Schalldruck, also die Lautstärke.

In der Musik versteht man unter einem Ton ein Schallereignis, welches von der Stimme oder von einem Instrument erzeugt wird und eine eindeutige Tonhöhe hat. In der Harmonielehre sind Töne Teil eines komplexen Tonsystems. Die harmonischen Zusammenhänge zwischen den Tönen sind durch Intervalle und Akkorde mathematisch beschrieben und werden in der uns bekannten Notenschrift notiert.





Klang
Ein in der Musik natürlich erzeugter Ton ist jedoch niemals ein reiner Sinuston sondern er besteht neben einem Grundton noch aus einer ganzen Reihe von Obertönen. Die Frequenzen der Obertöne stehen in einem ganzzahligen Verhältnis zum Grundton, und klingen demnach „harmonisch“. Der Grundton bestimmt im Wesentlichen die Tonhöhe während die Anzahl und die Zusammensetzung der hörbaren Obertöne die Klangfarbe eines Instrumentes ausmachen.  Die Obertonreihe ist von der Art der Klangerzeugung und der Bauart des Instrumentes abhängig.
Physikalisch gesehen ist somit ein Klang die Überlagerung mehrerer Töne (Partialtöne). Deutlich wird dieses System von Grund- und Obertönen z.B. bei den Zugriegeln einer Orgel. Hier kann man sich den Klang der Orgel durch die Kombination von mehreren Sinustönen beliebig zusammensetzen.


Geräusch
Ein Geräusch (von Rauschen) ist ein Sammelbegriff für alle Hörempfindungen, die nicht als Ton oder Klang bezeichnet werden können. Geräusche sind im täglichen Leben die am häufigsten vorkommenden Schallereignisse. Die Schwingungsvorgänge verlaufen nicht periodisch und ändern sich häufig in ihrer Struktur und ihrer Amplitude. 


Knall
Unter einem Knall versteht man eine kurz andauernde, einmalige Schwingung mit großer Amplitude. Als Beispiel kann man sich darunter näherungsweises den Schlag auf  eine Snaredrum vorstellen.




Ein Ton bzw. ein Klang entsteht also, wenn Luft in periodische Schwingungen versetzt wird. Bei Blasinstrumenten wird in dem Instrument eine schwingende Luftsäule erzeugt bis sich eine „stehende Welle“, also eine gleichmäßige Schwingung, einstellt. Diese versetzt beim Austritt aus dem Schalltrichter die umgebende Luft ebenfalls in Schwingung. Diese Schwingungen pflanzen sich in der Luft mit Schallgeschwindigkeit fort bis sie das Ohr eines Zuhörers erreichen. Dort wird das Trommelfell im Ohr in eben diese Schwingung versetzt und dadurch wird vom Zuhörer der Klang wahrgenommen. Je höher die Frequenz, also die Anzahl der Schwingungen in einer bestimmten Zeiteinheit, desto höher ist der Ton. Die Tonhöhe bei Blasinstrumenten kann sowohl über die Länge der Luftsäule als auch über die Geschwindigkeit der eingeblasenen Luft gesteuert werden. Da zum Aufbau einer „stehenden Welle“ etwas Zeit erforderlich ist, erklingt der Ton immer erst kurz nach dem Anblasen. Darum ist es für Bläser wichtig, immer „vorausschauend“ zu spielen. Von Vorteil ist hierbei ein Instrument, welches den schnellen Aufbau der Luftsäule begünstigt, also ein Instrument mit einer sog. „guten Ansprache“.

Bei Saiteninstrumenten erfolgt die Tonbildung, indem eine Saite in Schwingung versetzt wird und dadurch die Luft in einem Resonanzkörper zum Schwingen gebracht wird. Unterschiedliche Tonhöhen werden hierbei durch die Länge, die Dicke und die Spannkraft der Saiten erzeugt.
Dieses Prinzip würde angeblich durch Pythagoras von Samos entdeckt. Er definierte die reinen Intervalle als ganzzahlige Längenproportionen einer über zwei Stege gespannt Saite.
Spannst du eine Saite auf die Gitarre, so schwingt sie zwischen den beiden Stegen mit einer Länge „L“.
Halbierst du die Länge der Saite, verdoppelt sich die Frequenz und der Ton klingt genau eine Oktave höher.  Also ergibt sich das Verhältnis zwischen Prime und Oktave mit L/2. Da diese Regel für jede beliebige Saitenlänge gilt ist es sinnvoll für eine allgemeine, physikalische Betrachtung von einer Länge L=1 der Ursprungssaite auszugehen. Somit ergibt sich als Längenverhältnis zwischen Prime und Oktave die Verhältniszahl  2/1.
Halbiere ich die Saite noch einmal, lasse also 3/4 der ursprünglichen Saitenlänge schwingen, erklingt die Quarte zum Grundton. Längenverhältnis Prime zu Quarte = 4/3.
Verkürze ich die Saite um 1/3, d.h. die Saite schwingt noch mit 2/3 ihrer Länge, erklingt die Quinte zum Grundton. Längenverhältnis Prime zu Quinte = 3/2.
Also zusammenfassend noch einmal:
  • keine Verkürzung der Saitenlänge     =  Prime                   
  • Verkürzung der Saite um  1/2           = Oktave                  
  • Verkürzung der Saite um  1/3           = Quinte                    
  • Verkürzung der Saite um  1/4           = Quarte                   

Nur bei den reinen Intervallen lassen sich die Längenverhältnisse als sog. Stammbruch (Bruchzahl mit einer 1 im Zähler) darstellen. Alle anderen Längenverhältnisse können nur als sog. Zweigbrüche dargestellt werden. Ich hab das auf meiner alten Gitarre nachgemessen, es stimmt tatsächlich.

Bisher haben wir nur eine Saite mit konstanter Spannkraft betrachtet, die zur Änderung der Tonhöhe verkürzt wurde. Das Niederdrücken der Gitarrensaiten ist dafür ein praktisches Beispiel. Allerdings gibt es noch zwei andere, wesentliche Parameter, mittels derer man die Tonhöhe verändern kann. Das sind zum einen die Spannkraft der Saite (F) und zum anderen der Saitenquerschnitt, ausgedrückt durch den Durchmesser (D). Die Abhängigkeiten dieser Parameter kann man nun folgendermaßen zusammenfassen:
  • Verkürzung der Saite erhöht die Frequenz (halbe Länge = doppelte Frequenz)
  • Erhöhung der Spannkraft, erhöht die Frequenz (vierfache Kraft = doppelte Frequenz)
  • Reduzierung der Saitendicke erhöht die Frequenz (halber Durchmesser = doppelte Frequenz)

Die Stimmung eines Saiteninstrumentes erfolgt immer durch die Kombination dieser 3 Parameter.
Die Formel für die Berechnung der Tonfrequenz lautet die Formel:

Die Werte in der Formel werden mit folgenden Einheiten eingesetzt (in den Formeln wurden die entsprechenden Faktoren zur Anpassung der Maßeinheiten bereits berücksichtigt):

Nach der Legende von Pythagoras wurde die Tonhöhe verdoppelt, also die Oktave zum ursprünglichen Ton dadurch erreicht, dass die Saite mit dem doppelten Gewicht gespannt wurde, Das ist definitiv falsch, wie aus der Formel ersichtlich. Zur Erreichung der doppelten Frequenz, also einer Oktave, ist das Vierfache an Spannkraft (=Gewicht) erforderlich.

Durch Umstellung der Formel kannst du auch leicht die Zugkraft berechnen, mit der eine Saite bei einer bestimmten Frequenz gespannt ist: 





Oder die erforderliche Saitenlänge:





Oder den erforderlichen Saitendurchmesser:



So, genug Theorie für heute. Beim nächsten Mal wird es dann wieder musikalischer. Bis dahin wünsche ich dir

viel Spaß beim Üben !



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